Gödel numbering
哥德尔数是一个非常有趣和重要的概念，它在形式数论中扮演着重要的角色。通过将符号和公式映射到自然数，我们可以用数学的方式来研究和分析形式语言和形式系统。
在哥德尔的编码系统中，他使用了素数因子分解的方法来给每个符号和公式分配一个唯一的哥德尔数。这种编码方式非常巧妙，因为根据算术基本定理，我们可以将哥德尔数唯一地分解为素因子，从而恢复原始的符号序列或公式。
哥德尔的编码系统不仅适用于表示公式，还适用于表示证明。这使得他能够研究自然数命题和自然数定理的可证明性之间的对应关系。通过这种方式，他能够证明关于形式系统一致性和完备性的重要结果。
在实际应用中，哥德尔编号还可以用于构造形式系统的推论规则，并将其表示为自然数的函数。这种表示方式使得我们能够在形式系统中进行关于数和它们之间的算术关系的推理。同时，哥德尔编号也为我们提供了一种间接地对形式系统自身进行陈述的方式，从而使得形式系统能够进行自引用的推理，类似于二阶逻辑。
在Python中，我们可以使用哥德尔编码来表示符号和公式，并进行相应的计算和推理。我们可以定义一个函数来将符号映射到自然数，以及将自然数映射回符号的逆函数。通过这种方式，我们可以在计算机中模拟和研究形式系统的性质和推理过程。
总之，哥德尔数是一个非常有趣和强大的概念，它在形式数论和逻辑学中扮演着重要的角色。通过哥德尔编码，我们能够将符号和公式映射到自然数，并进行相应的计算和推理。这为我们研究形式系统的性质和推理过程提供了一种有力的工具。
以下是一个使用Python实现哥德尔编码和解码的简单示例代码：
import math
def encode(symbol):
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]
code = 1
for char in symbol:
code *= primes[ord(char) - ord('a')]
return code
def decode(code):
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809引用
Gödel, Kurt, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatsheft für Math. und Physik “‘38”’, 1931, S.173-198.
Gödel, Escher, Bach|Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, by Douglas Hofstadter. This book defines and uses an alternative Gödel numbering.
Gödel’s Proof by Ernest Nagel and James R. Newman. This book provides a good introduction and summary of the proof, with a large section dedicated to Gödel’s numbering.